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矩陣等價(jià)是什么意思

小魚 發(fā)布時(shí)間:2023-06-21 22:59:28

矩陣等價(jià)意思是:在線性代數(shù)和矩陣論中,有兩個(gè)m×n階矩陣A和B,如果這兩個(gè)矩陣滿足B=QAP(P是n×n階可逆矩陣,Q是m×m階可逆矩陣),那么這兩個(gè)矩陣之間是等價(jià)關(guān)系。也就是說,存在可逆矩陣(P、Q),使得A經(jīng)過有限次的初等變換得到B。

矩陣等價(jià)是什么意思

一、矩陣等價(jià)性質(zhì)

 

1.矩陣A和A等價(jià)(反身性);

2.矩陣A和B等價(jià),那么B和A也等價(jià)(等價(jià)性);

3.矩陣A和B等價(jià),矩陣B和C等價(jià),那么A和C等價(jià)(傳遞性);

4.矩陣A和B等價(jià),那么IAI=KIBI。(K為非零常數(shù))

5.具有行等價(jià)關(guān)系的矩陣所對應(yīng)的線性方程組有相同的解對于相同大小的兩個(gè)矩形矩陣,它們的等價(jià)性也可以通過以下條件來表征:

(1)矩陣可以通過基本行和列操作的而彼此變換。

(2)當(dāng)且僅當(dāng)它們具有相同的秩時(shí),兩個(gè)矩陣是等價(jià)的。

 

二、矩陣等價(jià)證明

 

a1,a2,....an,線性無關(guān),而a1,a2,....an,b,r線性相關(guān),所以有x1a1+x2a2+....xnan+xb+yr=0,若y=0,則x1a1+x2a2+....xnan+xb=0,說明a1,a2,...an,b線性相關(guān),同理x=0,可得a1,a2,....an,r線性相關(guān)。

若x,y都不為零,兩邊除以x可得-b=x1/x)a1+(x2/x)a2+...+(xn/x)an+(y/x)r,這表示b可以用a1,a2,....an,r.表示。若除以y可證明r可以用a1,a2,....an,b表示。這就說明a1,a2,....an,b與a1,a2,....an,r等價(jià).綜合可得命題得證。

 

當(dāng)A和B為同型矩陣,且r(A)=r(B)時(shí),A,B一定等價(jià)。

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